Matemática

 Matemática

La matemática es un conjunto de lenguajes formales que pueden ser usados como herramienta para plantear problemas de manera no ambigua en contextos específicos. Por ejemplo, el siguiente enunciado podemos decirlo de dos formas: X es mayor que Y e Y es mayor que Z, o forma simplificada podemos decir que X > Y > Z. Este es el motivo por el cual las matemáticas son tan solo un lenguaje simplificado con una herramienta para cada problema específico (por ejemplo 2x2=4, o 2+2=4).

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio:

donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el coeficiente de x², b es el término o coeficiente de x y c es el término independiente.

Si a = 1, la ecuación cuadrática es reducida. Si a = 0, entonces deja de ser una ecuación de segundo grado, y se transforma en una ecuación de primer grado:

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas, dependiendo de si existen los términos dependiente de x (b) o independiente (c).

Ecuaciones completas de segundo grado

Las ecuaciones completas de segundo grado tienen la forma ax² + bx + c = 0, es decir, todos los términos se encuentran presentes; por ejemplo:

En este caso a = 2, b = 3 y c = 4.

En este caso a = 1, b = 10 y c = 20, pues el (-20) del lado derecho de la ecuación pasa al lado izquierdo cambiando de signo, así:

Ecuaciones incompletas de segundo grado

Cuando no existe el coeficiente de x, es decir, el término b, la ecuación toma la forma:

Ejemplos:

Cuando no existe el término independiente, es decir, el término c, la ecuación tiene la forma:

Ejemplos:

Raíces de una ecuación cuadrática

Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces que son los valores de la incógnita. Resolver una ecuación de segundo grado es buscar las raíces de la ecuación.

Las raíces de la ecuación cuadrática se calculan por la fórmula general:

La expresión dentro de la raíz cuadrada b² - 4(a)(c) se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Obsérvese que delante de la raíz de la discriminante esta el signo ±. Esto significa que, para hallar el valor de x, en un caso sumamos el valor de la discriminante, y, en otro caso, restamos. A esto nos referimos cuando decimos que hay dos raíces en la ecuación de segundo grado.

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso

Para resolver una ecuación de segundo grado usando la fórmula general, vamos a proceder de la siguiente manera:

1. Identificamos los coeficientes a, b y c.
2. Los sustituimos en la fórmula general.
3. Calculamos x₁ sumando el discriminante y x₂ restando el discriminante.

Debemos tener en cuenta que:

⇒ solo hay una raíz para la ecuación.

⇒ hay dos raíces con números reales.

⇒ no hay una solución real.

Ejemplo 1

Resolvamos la ecuación 3x² - 5x + 2 = 0

1. Los coeficientes son: a = 3, b = -5, c = 2.
2. Los sustituimos en la fórmula general:

Las respuestas son x₁ = 1 y x₂ = 2/3.

Hacemos la comprobación de la siguiente forma:

Como vemos, x₁ = 1 satisface la ecuación.

De igual forma, x₂ = 2/3 es otra de las soluciones correctas.